Definición de la segunda derivada [Para una firma]

La segunda derivada indica la razón de cambio de la primer derivada, en otras palabras nos da la diferencia de las diferencias del elemento siguiente con respecto del anterior.

Problema de máximos [Ejercicio para el alumno]

Se tiene la función que describe la producción de la siguiente manera: \begin{gathered} y = - 2{x^2} + 20x \\ \end{gathered}

Tabla

Trabajadores	PRODUCCION
x	y
0	0
1	18
2	32
3	42
4	48
5	50
6	48
7	42
8	32
9	18
10	0

Método Analítico \begin{gathered} y = - 2{x^2} + 20x \\ y' = - 4x + 20 \\ {\text{Por el criterio de la 1er derivada tenemos:}} \\ - 4x + 20 = 0 \Rightarrow 4x = 20 \Rightarrow x = 5 \\ {\text{Punto de inflexión:}} \\ x = 5 \\ {\text{Usando el criterio de la segunda derivada:}} \\ y'' = - 4 \\ {\text{Por lo tanto el máximo se encuentra en:}} \\ x = 5,{\text{ }}y = 50\left( {{\text{y se obtiene evaluando la función original}}} \right) \\ \end{gathered} $

Ley de los Rendimientos Decrecientes

Afirma que cada vez se obtendrá menos producción adicional a medida que se añadan cantidades adicionales de una entrada manteniendo el resto de los factores constantes.

Es decir el producto marginal de cada entrada se reducirá a medida que la cantidad de esta entrada aumente si los otros permanecen constantes.

Como ejemplo tenemos el ejercicio anterior.

Desarrollo humano

Algunos fenómenos son aparentes→Buscar esencia

\[Utilidad \to U = I - CT\]

\[\begin{gathered} INGRESO  \\ y = {\text{Costo}}*{\text{Producción}}  \\ y = 20x  \\ \end{gathered} \]

Optimizar: Maximizar producción minimizando el número de trabajadores.

Ejercicio: Producción

Tabla X|Y, Gráfica, Encontrar el máximo
Tabla X|Y

\[y = - 3{x^2} + 24x\]

Trabajadores	PRODUCCION
x	y
0	0
1	21
2	36
3	45
4	48
5	45
6	36
7	21
8	0
9	-27
10	-60

Gráfica

Encontrar el máximo[Método analítico]

\[\begin{gathered} Método{\text{ }}analítico \\ Función:\left[ {y = - 3{x^2} + 24x} \right] \\ {\text{Para obtener el máximo de la función debemos aplicar el criterio de}} \\ {\text{la primer derivada para obtener el punto crítico, esto se realiza como sigue:}} \\ 1){\text{ Obtener la primer derivada}} \\ y' = - 6x + 24 \\ 2){\text{ Igualar la primer derivada a cero para obtener el punto crítico}} \\ y' = 0 \Rightarrow 0 = - 6x + 24 \Rightarrow 6x = 24 \\ \therefore x = 4 \to \left\langle {4{\text{ empleados}}} \right\rangle \\ \end{gathered} \]

\[\begin{gathered} 3){\text{ Verificar que se trata de un máximo, para ello usaremos el criterio de}} \\ {\text{la segunda derivada, si resulta negativa se trata de un máximo}}{\text{.}} \\ y' = - 6x + 24 \Rightarrow y'' = - 6 \\ \therefore {\text{Tenemos un máximo para ese valor}}\left( {x = 4} \right){\text{.}} \\ \end{gathered} \]

Empleando a 4 trabajadores podemos obtener la máxima producción.

****** Tarea: Obtener la ley de los rendimientos decrecientes******

Programa

1. Economía
2. Producción-->Inflación
3. Oferta y demanda-->Equilibrio
4. Teoría consumidor-->Bienes{Complementarios, sustitutos}
5. Teoría de juegos-->Película mente brillante
6. Rentabilidad-->TIR=>Tasa Interna de Retorno

Forma de evaluar:

\[{\text{FIRMAS}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {}&{{\text{Ejercicios en clase casi 80 }}\% {\text{ }}} \\ {}&{{\text{Tarea}} \to {\text{Pocas veces}}} \\ {}&{{\text{Trabajo}} \to {\text{Escrito o disco}}} \end{array}} \right\}\]